Question

如圖，F′，F分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點，A、B為橢圓和雙曲線的公共頂點．P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的第一象限內的點，且滿足

PA

+

PB

=λ(

QA

+

QB

)(λ∈R)，

PF

=

3

•

QF′

．
（1）求出橢圓和雙曲線的離心率；
（2）設直線PA、PB、QA、QB的斜率分別是k₁，k₂，k₃，k₄，求證：k₁+k₂+k₃+k₄=0．

Answer 1

分析：（1）設O為原點，由向量條件得

PO

=λ

QO

，于是O、P、Q三點共線，因為

PF

=

3

QF′

所以PF∥QF′，且 |PF|=

3

|QF′|得λ=

|OP|

|OQ|

=

|PF|

|QF′|

=

|OF|

|OF′|

=

3

，代入a，b化簡即得a，b的關系式，從而得出橢圓和雙曲線的離心率；
（ 2）設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），利用斜率公式得到：k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2x1y1

x 2 1 -2b2

=

x1

y1

；同理可得k3+k4=-

x2

y2

結合O、P、Q三點共線即可得出k₁+k₂+k₃+k₄的值．

解答：解：（1）設O為原點，則

PA

+

PB

=2

PO

，

QA

+

QB

=2

QO

．
而

PA

+

PB

=λ(

QA

+

QB

)，得

PO

=λ

QO

，
于是O、P、Q三點共線．                           （2分）
因為

PF

=

3

QF′

所以PF∥QF′，且 |PF|=

3

|QF′|，（3分）
得λ=

|OP|

|OQ|

=

|PF|

|QF′|

=

|OF|

|OF′|

=

3

，
∴

a2+b2

a2-b2

=3，
∴a²=2b²（5分）
因此橢圓的離心率為

2

2

．雙曲線的離心率為

6

2

．（7分）
（ 2）設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
點P在雙曲線

x 2

2b2

-

y 2

b2

=1的上，有

x 2 1

2b2

-

y 2 1

b2

=1．
則x₁²-2b²=2y₁²．
所以k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2x1y1

x 2 1 -2b2

=

x1

y1

．    ①（9分）
又由點Q在橢圓

x 2

2b2

+

y 2

b2

=1上，有x₂²-2b²=-2y₂²．
同理可得k3+k4=-

x2

y2

②（10分）
∵O、P、Q三點共線．
∴

x1

y1

=

x2

y2

．
由①、②得k₁+k₂+k₃+k₄=0．                 （12分）

點評：本小題主要考查橢圓的幾何性質、雙曲線的幾何、圓錐曲線的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．