Question

如圖，五面體A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC是正三角形，AB=2．四邊形BCC₁B₁是矩形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁
（I）求這個(gè)幾何體的體積；
（Ⅱ）D在AC上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：當(dāng)D在何處時(shí)，有AB₁∥平面BDC₁，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（III）求二面角B₁-AC₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中平面ABC⊥平面BCC₁B₁，我們易得五面體A-BCC₁B₁（四棱錐）的底面為BCC₁B₁，高是正三角形ABC的高，分別求出棱錐的底面面積和高，代入即可得到這個(gè)幾何體的體積；
（Ⅱ）當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，連接B₁C交BC₁于O，連接DO，易根據(jù)三角形的中位線定理，證得DO∥AB₁，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理得到AB₁∥平面BDC₁．
（III）建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz如圖所示，分別求出平面B₁AC₁與AC₁C的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，即可求出二面角B₁-AC₁-C的余弦值．
解答：解：（I）顯然這個(gè)五面體是四棱錐A-BCC₁B₁，
因?yàn)閭?cè)面BCC₁B₁垂直于底面ABC，
所以正三角形ABC的高就是這個(gè)四棱錐A-BCC₁B₁的高，
又AB₁=4，AB=2，所以．
于是 
=．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，有AB₁∥平面BDC₁．
證明：連接B₁C交BC₁于O，連接DO，
∵四邊形BCC₁B₁是矩形∴O為B₁C中點(diǎn)，
∵AB₁∥平面BDC₁，且AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁
∴DO∥AB₁，∴D為AC的中點(diǎn)．…（8分）
（III）建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz如圖所示，
則，C（0，2，0），，，
所以，，，，
設(shè)為平面B₁AC₁的法向量，
則有，令z=1，可得平面B₁AC₁的一個(gè)法向量為，
設(shè)為平面ACC₁的法向量，則有，
令x=-1，可得平面ACC₁的法向量，
=，
所以二面角B₁-AC₁-C的余弦值為…（12分）
注：本題也可以不建立坐標(biāo)系，解法從略，請(qǐng)按三小題分值給分
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，其中（I）的關(guān)鍵是判斷出五面體A-BCC₁B₁的底面及高，（II）的關(guān)鍵是證得DO∥AB₁，（III）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題．