Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₂₀₁₅=2a₂₀₁₃+a₂₀₁₄，若存在兩項(xiàng)a_m、a_n使得

aman

=4a₁，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q且q＞0，根據(jù)題意和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出q，代入

aman

=4a₁利用指數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)得：m+n=6，利用1的代換化簡(jiǎn)

1

m

+

4

n

，利用基本不等式求出最小值．

解答： 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，
因?yàn)閍₂₀₁₅=2a₂₀₁₃+a₂₀₁₄，所以q²=2+q，
解得q=2或q=-1（舍去），
因?yàn)榇嬖趦身?xiàng)a_m、a_n使得

aman

=4a₁，
所以

a1qm-1•a1qn-1

=4a1，化簡(jiǎn)得q^m+n-2=16，
即2^m+n-2=16=2⁴，所以m+n=6，
則

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

4m

n

時(shí)取等號(hào)，
所以

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，基本不等式求最小值，1的代換，以及化簡(jiǎn)計(jì)算能力．