Question

【題目】如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）若平面 ， 求平面與平面所成的角（銳角）的大小.

Answer 1

【答案】
（1）

證法一：連接DG,CO，設(shè)CD∩GF＝O，連接OH
在三棱臺(tái)DEF-ABC中，
AB=2DE,G為AC的中點(diǎn)
可得DF∥GC,DF=GC
所以四邊形DFCG為平行四邊形
則0為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)
所以O(shè)H∥BD

又平面平面

所以平面．

證法二
在三棱臺(tái)DEF-ABC中，
由BC=2EF,H為BC的中點(diǎn)
可得BH∥EF,BH = EF ,
所以四邊形BHEE為平行四邊形
可得BE∥HF;
在△ABC中，G為AC的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，
所以GH ∥AB
又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面.ABED
因?yàn)锽D平面ABED
所以BD∥平面FGH

（2）解：解法一：

設(shè)AB=2,則CF=1
在三棱臺(tái)DEF-ABC中，
G為AC的中點(diǎn)
由
可得四邊形DGCF為平行四邊形，
DG ∥CF
C⊥平面ABC

所以DG⊥平面ABC
在△ABC中，由AB⊥BC,，G是AC中點(diǎn)，
所以.A B = BC. GB⊥GC
因此GB,GC,GD兩兩垂直，
以G為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G—xyz

所以,,,
可得,
故=,

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

由得

可得平面的一個(gè)法向量

應(yīng)為是平面的一個(gè)法向量=，

所以COS＜,＞
所以平面與平面所成的解銳角的大小為
解法二
作HM⊥AC于點(diǎn)M，作MN⊥GF于點(diǎn)N，連接NM

由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC

所以HM⊥平面ACFD
所以∠MNH即為所求的角

在△BGC中,MH∥BG， MH二，

由
可得
從而
由平面，平面
得

因此
所以
所以平面FGH平面ACFD所成角(銳角）的大小為

【解析】（1）思路一：連接DG,CD，設(shè)CD∩GF＝O，連接OH，先證明OH∥BD，從而由直線平面平行的判定定理得BD∥平面HDF；
思路二：先證明平面FGH∥平面ABED，再由平面與平面平行的定義得到BD∥平面HDF。
（2）思路一：連接DG,CD，設(shè)CD∩GF＝O，連接OH，證明GB,GC,GD兩兩垂直，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用空量向量的夾角公式求解；
思路二：作HM⊥AC于點(diǎn)M，作MN⊥GF于點(diǎn)N，連接NM，證明∠MNH即為所求的角，然后在三角形中求解，
本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解用空間向量求直線與平面的夾角的相關(guān)知識(shí)，掌握設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：．