a是實數,函數f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函數y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點,則a的取值范圍是________.
(-∞,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/108949.png)
]∪[1,+∞)
分析:先確定a≠0,將f(x)=2ax
2+2x-3-a=0在[-1,1]上有解,轉化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258064.png)
在[-1,1]上有解,求出函數y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258064.png)
在[-1,1]上的值域,即可確定a的取值范圍.
解答:a=0時,不符合題意,所以a≠0,
∵f(x)=2ax
2+2x-3-a=0在[-1,1]上有解,∴(2x
2-1)a=3-2x在[-1,1]上有解
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122.png)
=
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在[-1,1]上有解,
問題轉化為求函數y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258064.png)
在[-1,1]上的值域.
設t=3-2x,x∈[-1,1],則2x=3-t,t∈[1,5],
∴y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(t+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258065.png)
-6),
設 g(t)=t+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258065.png)
,∴g′(t)=1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258066.png)
,t∈[1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
)時,g'(t)<0,此函數g(t)單調遞減,
t∈(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
,5]時,g'(t)>0,此函數g(t)單調遞增,
∴y的取值范圍是[3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
-3,1],
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122.png)
∈[3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
-3,1],
∴a≥1或a≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/108949.png)
.
故答案為(-∞,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/108949.png)
]∪[1,+∞).
點評:本題考查二次函數在給定區(qū)間上的零點問題,解題的關鍵是分離參數,轉化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258064.png)
在[-1,1]上有解,屬于中檔題.