Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=cos（

2

3

x+

π

2

）是奇函數(shù)；
②存在實數(shù)x，使sinx+cosx=2；
③若α，β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ；
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對稱軸；
⑤函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）的圖象關(guān)于點(

π

12

，1)成中心對稱．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：利用誘導(dǎo)公式化簡判斷①；化積后求出sinx+cosx的最值判斷②；舉例判斷③；分別求解三角函數(shù)值判斷④⑤．

解答： 解：對于①，∵y=cos（

2

3

x+

π

2

）=-sin

2

3

x，
∴函數(shù)y=cos（

2

3

x+

π

2

）是奇函數(shù)，命題①正確；
對于②，∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴不存在實數(shù)x，使sinx+cosx=2，命題②錯誤；
對于③，α=60°，β=390°是第一象限角且α＜β，tanα＞tanβ，命題③錯誤；
對于④，當(dāng)x=

π

8

時，y=sin（2x+

5π

4

）=sin(2×

π

8

+

5π

4

)=-1，
∴x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對稱軸；
對于⑤，當(dāng)x=

π

12

時，y=sin（2x+

π

3

）=sin(2×

π

12

+

π

3

)=1．
∴x=

π

12

是函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）的一條對稱軸，命題⑤錯誤．
∴正確命題的序號為①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．