Question

已知⊙O：x²+y²=1，直線l的方程為x-y-4=0，點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做⊙O的切線切點(diǎn)為A，B．求A，B中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡所在的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)直線l：x-y-4=0上的點(diǎn)P（x₀，x₀-4），由此求出直線AB的方程，再求出直線OP的方程；
兩方程聯(lián)立，消去參數(shù)x₀，求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且直線l：x-y-4=0上的點(diǎn)P為（x₀，x₀-4），
則再設(shè)Q（x，y）為過(guò)A的切線上一點(diǎn)，∴

AQ

=（x-x₁，y-y₁），
∵

AQ

•

OA

=0，∴x₁（x-x₁）+y₁（y-y₁）=0，化簡(jiǎn)得x₁x+y₁y=x₁²+y₁²
又∵點(diǎn)A在圓x²+y²=1上，∴x₁²+y₁²=1，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線為x₁x+y₁y=1，
同理經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的圓的切線為x₂x+y₂y=1；
又∵點(diǎn)P（x₀，x₀-4₀）是兩切線的交點(diǎn)，
∴x₀x₁+（x₀-4）y₁=1，說(shuō)明點(diǎn)A（x₁，y₁）在直線x₀x+（x₀-4）y=1上；
同理x₀x₂+（x₀-4）y₂=1，說(shuō)明點(diǎn)B（x₂，y₂）在直線x₀x+（x₀-4）y=1上；
∴直線AB的方程為：x₀x+（x₀-4）y=1①，
又直線OP的方程為：（x₀-4）x-x₀y=0②；
①②聯(lián)立，消去x₀，
得4x²+4y²-x+y=0，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡所在的方程為4x²+4y²-x+y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程的問題，解題時(shí)應(yīng)先求出圓的切點(diǎn)弦所在直線方程，再利用兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，消去參數(shù)，即可得出結(jié)論，是中檔題．