已知⊙O:x2+y2=1,直線l的方程為x-y-4=0,點(diǎn)P為直線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P做⊙O的切線切點(diǎn)為A,B.求A,B中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡所在的方程.
考點(diǎn):軌跡方程
專題:直線與圓
分析:設(shè)直線l:x-y-4=0上的點(diǎn)P(x0,x0-4),由此求出直線AB的方程,再求出直線OP的方程;
兩方程聯(lián)立,消去參數(shù)x0,求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
解答: 解:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),且直線l:x-y-4=0上的點(diǎn)P為(x0,x0-4),
則再設(shè)Q(x,y)為過(guò)A的切線上一點(diǎn),∴
AQ
=(x-x1,y-y1),
AQ
OA
=0,∴x1(x-x1)+y1(y-y1)=0,化簡(jiǎn)得x1x+y1y=x12+y12
又∵點(diǎn)A在圓x2+y2=1上,∴x12+y12=1,
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線為x1x+y1y=1,
同理經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的圓的切線為x2x+y2y=1;
又∵點(diǎn)P(x0,x0-40)是兩切線的交點(diǎn),
∴x0x1+(x0-4)y1=1,說(shuō)明點(diǎn)A(x1,y1)在直線x0x+(x0-4)y=1上;
同理x0x2+(x0-4)y2=1,說(shuō)明點(diǎn)B(x2,y2)在直線x0x+(x0-4)y=1上;
∴直線AB的方程為:x0x+(x0-4)y=1①,
又直線OP的方程為:(x0-4)x-x0y=0②;
①②聯(lián)立,消去x0,
得4x2+4y2-x+y=0,
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡所在的方程為4x2+4y2-x+y=0.
點(diǎn)評(píng):本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程的問題,解題時(shí)應(yīng)先求出圓的切點(diǎn)弦所在直線方程,再利用兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),消去參數(shù),即可得出結(jié)論,是中檔題.
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1
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x+y
2
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③四面體APDE為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直的四面體.
其中有可能成立的結(jié)論的個(gè)數(shù)是(  )
A、0B、1C、2D、3

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