Question

已知二次函數(shù)的圖象過原點且關于y軸對稱，記函數(shù) ．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）當的單調遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

Answer 1

解：（I）∵y=ax²+（b+ ）x+c﹣1是偶函數(shù)，
∴b+ =0，b=﹣ ，
又∵圖象過原點，
∴c=1， ∴b=﹣ ，c=1，
（Ⅱ）當a= 時，h（x）= （ ）
h′（x）= 
=  = 
令f′（x）＜0得，函數(shù)單調遞減區(qū)間是（2﹣ ，2+ ），
（III）∵函數(shù)h（x）的圖象上垂直于y軸的切線，
∴方程h′（x）=0存在正根，
h′（x）=  （ax²﹣ x+1）+ （2ax﹣ ）= 
即5ax²﹣2x+1=0存在正根，△=4（1﹣5a）．
①當a＞ 時，△＜0，方程5ax²﹣2x+1=0無實數(shù)根，
此時函數(shù)h（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
②當a= 時，△=0，方程5ax²﹣2x+1=0根為x=1，
此時函數(shù)h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
③當0＜a＜ 時，△＞0，方程5ax²﹣2x+1=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂，
x₁+x₂= ＞0，x₁x₂= ＞0，方程5ax²﹣2x+1=0有兩個不等的正實數(shù)根
此時函數(shù)h（x）的圖象上有垂直于y軸的切線
④a＜0時，△＞0，方程5ax²﹣2x+1=0有且僅有一個正實數(shù)根，
此時函數(shù)h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線綜上：
當a＞ 時，不存在垂直于y軸的切線
當a= 或a＜0時，存在一條垂直于y軸的切線
當0＜a＜ 時，存在垂直于y軸的切線．