Question

【題目】已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓C上是否存在不同的兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)MN的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之和為1，求證直線(xiàn)l必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，（3）證明見(jiàn)解析，

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到在橢圓上，故不在橢圓上，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.

（2）假設(shè)存在，設(shè) ，代入橢圓相減得到，再根據(jù)計(jì)算得到答案.

（3）設(shè)，利用韋達(dá)定理得到，根據(jù)斜率之和為1得到，得到過(guò)定點(diǎn)

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知在橢圓上，故不在橢圓上.

代入得到，代入得到

故橢圓方程為：

（2）存在；假設(shè)存在，設(shè) ，代入橢圓相減得到：

設(shè)中點(diǎn)為 ，則

在直線(xiàn)上，得到，解得

故方程為

（3）設(shè)，聯(lián)立方程得到 故

故

故直線(xiàn)方程為過(guò)定點(diǎn).