已知函數(shù)，，(其中)，設.

（Ⅰ）當時,試將表示成的函數(shù),并探究函數(shù)是否有極值；

（Ⅱ）當時，若存在，使成立，試求的范圍.

 

【答案】

（Ⅰ）當時在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當時在定義域內(nèi)無極值;

（Ⅱ）或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）觀察與的特點，可得，，，即可得到函數(shù)，觀察此函數(shù)特征可想到對其求導得，由二次函數(shù)的圖象不難得出在上有解的條件，進而求出的范圍; （Ⅱ）由可得，又由可得，故可令函數(shù)的最大值為正，對函數(shù)求導令其為0得求出，由與，和與的大小關系對進行分類討論，并求出各自情況的最大值，由最大值大于零即可求出的范圍．

試題解析：（Ⅰ）∵,

,

∴ ∴       (3分)

  設是的兩根，則，∴在定義域內(nèi)至多有一解,

欲使在定義域內(nèi)有極值，只需在內(nèi)有解，且的值在根的左右兩側(cè)異號，∴得                (6分)

綜上：當時在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當時在定義域內(nèi)無極值．

（Ⅱ）∵存在，使成立等價于的最大值大于0，

∵，∴,

∴得.

當時，得；

當時，得           (12分)

當時，不成立                (13分)

當時，得；

當時，得；

綜上得：或               (16分)

考點：1.代數(shù)式的化簡;2.函數(shù)的極值;3.導數(shù)在函數(shù)中的運用

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=·,其中=(sinωx+cosωx,cosωx), =(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω＞0).若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于.

(1)求ω的取值范圍；

(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=,b+c=3(b＞c)，當ω最大時，f(A)=1,求邊b,c的長.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年浙江省五校聯(lián)盟高三下學期第一次聯(lián)考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知,函數(shù)，，(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)),

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）是否存在實數(shù)，使得的最小值為3. 若存在，求出的值，若不存在，說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省等三校高三2月月考數(shù)學文卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），

（Ⅰ）設曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若對于任意實數(shù)≥0，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當時，是否存在實數(shù)，使曲線C：在點

處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年天津市高三十校聯(lián)考理科數(shù)學 題型：解答題

．（14分）已知函數(shù)，，其中

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值

（Ⅱ）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆云南省高一期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

已知函數(shù)，（其中）的周期為π，且圖象上一個最低點為。

 (1)求的解析式；

(2)當時，求的最值

 

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