Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=

π

3

，AD=2，AM=1，E是AB的中點．
（Ⅰ）求證：DE⊥NC；
（Ⅱ）在線段AM上是否存在點p，使二面角P-EC-D的大小為

π

6

？若存在，求出AP的長h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明：DE⊥DC，ND⊥DE，可得DE⊥平面NDC，即可證明DE⊥NC；
（Ⅱ）以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，求出平面PEC的一個法向量、平面ECD的法向量．利用向量的夾角公式，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60°，∴DE=

3

．
∴AD²=AE²+DE²，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC   …①…（1分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交線AD，ND⊥AD，ND?平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE?平面ABCD，∴ND⊥DE  …②…（2分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC
∴DE⊥NC                                                      …（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)存在P符合題意．
由（Ⅰ）知，DE、DC、DN兩兩垂直，以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz（如圖），

則D（0，0，0），A（

3

，-1，0），E（

3

，0，0），C（0，2，0），P（

3

，-1，h）（0≤h≤1）．
∴

EP

=（0，-1，h），

EC

=（-

3

，2，0），設(shè)平面PEC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

-y+hz=0 - 3 x+2y=0

，令x=2，則平面PEC的一個法向量為

n

=（2h，

3

h，

3

） …（7分）
取平面ECD的法向量

m

=（0，0，1），…（9分）
∴cos

π

6

=

3

7h2+3

，解得h=

7

7

∈[0，1]，
即存在點P，使二面角P-EC-D的大小為

π

6

，此時AP=

7

7

．               …（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查二面角，考查向量法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．