Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，且函數(shù)y=f（x-3）的圖象關(guān)于（3，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），當(dāng)1≤s≤4時(shí)，則t²+s²-2s的取值范圍為（　�。�

• A．[-2，10]
• B．[-

  1

  2

  ，1]
• C．[0，9]
• D．[-

  1

  2

  ，24]

Answer 1

分析：由已知中定義在R上的函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，且函數(shù)y=f（x-3）的圖象關(guān)于（3，0）成中心對稱，易得函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)可得s²-2s≥t²-2t，進(jìn)而得到s與t的關(guān)系式，最后找到目標(biāo)函數(shù)z=t²+s²-2s=t²+（s-1）²-1，利用線性規(guī)劃問題進(jìn)行解決．

解答：解：y=f（x-3）的圖象相當(dāng)于y=f（x）函數(shù)圖象向右移了3個單位．
又由于y=f（x-3）圖象關(guān)于（3，0）點(diǎn)對稱，
向左移回3個單位即表示y=f（x）函數(shù)圖象關(guān)于（0，0）點(diǎn)對稱，故函數(shù)是奇函數(shù)．
所以f（2t-t²）=-f（t²-2t），即f（s²-2s）≥f（t²-2t）．
因?yàn)閥=f（x）函數(shù)是增函數(shù)，所以s²-2s≥t²-2t，移項(xiàng)得：s²-2s-t²+2t≥0，
即：（s-t）（s+t-2）≥0，解得：s≥t且s+t≥2，或s≤t且s+t≤2．
轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題：已知s≥t且s+t≥2，且1≤s≤4，目標(biāo)函數(shù)：z=t²+s²-2s=t²+（s-1）²-1，
畫出可行域：

z=t²+s²-2s 的最值，轉(zhuǎn)化為可行域中的點(diǎn)到點(diǎn)（0，1）距離的平方減去1，
z=t²+s²-2s=t²+（s-1）²-1，
∴z的最小值為點(diǎn)（0，1）到直線s+t=2距離的平方減去1，∴z_min=(

|-1|

2

)2-1=-

1

2

，
z的最大值為點(diǎn)（0，1）到點(diǎn)（4，4）距離的平方減去1，
z_max=（-4）²+（-3）²-1=24，∴-

1

2

≤z≤24．
當(dāng)s≤t且s+t≤2，且1≤s≤4，可行域不存在，舍去；
∴t²+s²-2s 的取值范圍是[-

1

2

，24]，
故選 D．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件得到函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而將不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），轉(zhuǎn)化為s²-2s≥t²-2t，最后轉(zhuǎn)化到線性規(guī)劃問題上解決，就比較簡單了，屬于中檔題．