已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an是Sn和1的等差中項(xiàng),等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=S3
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=
1
bnbn+1
,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的取值范圍.
考點(diǎn):數(shù)列的求和
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由an是Sn和1的等差中項(xiàng),得Sn=2an-1,由an=Sn-Sn-1可得數(shù)列遞推式,從而可判斷{an}是等比數(shù)列,可求an,由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求公差d;
(2)利用裂項(xiàng)相消法可求得Tn,根據(jù)Tn的表達(dá)式及{Tn}單調(diào)性可求其范圍;
解答: 解:(1)∵an是Sn和1的等差中項(xiàng),∴Sn=2an-1,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1-1,∴a1=1,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1
∴an=2an-1,即
an
an-1
=2,
∴數(shù)列{an}是以a1=1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
∴an=2n-1,Sn=2n-1,
設(shè){bn}的公差為d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴d=2,
∴bn=1+(n-1)×2=2n-1;
(2)cn=
1
bnbn+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,
∴Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
,
∵n∈N*,∴Tn=
1
2
(1-
1
2n+1
)
1
2
,
Tn-Tn-1=
n
2n+1
-
n-1
2n-1
=
1
(2n+1)(2n-1)
>0,
∴數(shù)列{Tn}是一個(gè)遞增數(shù)列,
∴Tn≥T1=
1
3

綜上所述,
1
3
Tn
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識(shí),裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,要熟練掌握.
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A、
1
2
、2
B、
1
4
、4
C、
2
2
、
2
D、
1
2
、4

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7
5
10

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(2)能否在第一象限找到一點(diǎn)P,使得P同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l2的距離之比是1:2;②P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是
2
5
;.若能,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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1
[
1
2
f(n)+
1
2
][g(n)+3]

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn,并求使得Tn
m
150
對(duì)任意n∈N*都成立的最大正整數(shù)m.

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