Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

m

x

．
（1）若m＞0，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對?x∈[1，+∞），總有f（x）-2x²≤0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題x＞0，f′(x)=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)性．
（2）f(x)-2x2≤0?lnx+

m

x

-2x2≤0，從而m≤2x³-xlnx，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題x＞0，f′(x)=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

…（2分）
因為m＞0，則當(dāng)x∈（0，m），f'（x）＜0，
則f（x）在區(qū)間（0，m）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（m，+∞），f'（x）＞0，
則f（x）在區(qū)間（m，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
（2）f(x)-2x2≤0?lnx+

m

x

-2x2≤0，
注意到x＞0，上式等價于m≤2x³-xlnx…（7分）
令g（x）=2x³-xlnx，
則g'（x）=6x²-（lnx+1）=6x²-lnx-1，
g″(x)=12x-

1

x

=

12x2-1

x

…（9分）
當(dāng)x≥1時，g''（x）＞0，則g'（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，
則g'（x）≥g'（1）=6-0-1=5＞0，
則g（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，
則g（x）≥g（1）=2，…（11分）
故m≤2，即m的取值范圍是（-∞，2]．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．