已知函數(shù)(m∈R,e是自然常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當x>0時,設f(x)的反函數(shù)為f-1(x),若0<p<q,試比較f(q-p),f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大小.
【答案】分析:(1)求函數(shù)f(x)的導數(shù),由于導數(shù)中存在參數(shù)m,其取值范圍的不同會造成函數(shù)的單調區(qū)間不同,極值的存在與否不同,故需要對參數(shù)m分類討論,在每一類中求函數(shù)的極值;
(2)觀察題設,要比較大小的幾個數(shù)值的函數(shù)名不同,不易借助同一個函數(shù)的單調性來進行判斷,本題采取了構造一個新函數(shù)的方法,借用新函數(shù)的單調性來比較兩數(shù)的大小,對于函數(shù)名相同的兩個數(shù)值大小的比較,直接作差即可.
解答:解:(1)∵當x>0時,f(x)=ex-1在上單調遞增,且f(x)=ex-1>0
當x≤0時,f(x)=x3+mx2,此時f′(x)=x2+2mx=x(x+2m)
①當m=0時,f′(x)=x2≥0,則f(x)=x3在(-∞,0】上單調遞增且f(x)=x3≤0,又f(0)=0,可知函數(shù)f(x)在R上單調遞增,故無極值.
②當m<0時同理,函數(shù)f(x)在R上單調遞增,故無極值
③當m>0時,令f′(x)=x(x+2m)>0,得x>0或x<-2m.此時函數(shù)f(x)=x3+mx2在(-∞,-2m]上單調遞增,在(-2m,0]上單調遞減.
∴函數(shù)在f(x)x=-2m處取得極大值f(-2m)=m3+4m3=m3>0;
又∵f(x)在(0,+∞)上單調遞增,故函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0)=0.
綜上可知:當m>0時,f(x)的極大值為m3,極小值為0;當m≤時,f(x)無極值
(2)當x>0時,設y=f(x)=ex-1則x=ln(y+1)
∴f-1(x)=ln(x+1)(x>0)
①比較f(q-p)與f-1(q-p)的大�。�
記g(x)=f(x)-f-1(x)=ex-ln(x+1)-1(x>0)
∵當x>0時,有g′(x)>g′(0)=0恒成立.
∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調遞增,又因為g(x)在x=0處連續(xù)
∴當x>0時,有g(x)>g(0)=e-ln(0+1)-1=0
當0<p<q時,有p-p>0,
∴g(q-p)=f(q-p)-f-1(q-p)>0,即f(q-p)>f-1(q-p)
②比較f-1(q-p)與f-1(q)-f-1(p)的大小
∵f-1(q-p)-[f-1(q)-f-1(p)]=ln(q-p+1)-ln(q+1)+ln(p+1)
∵0<p<q,∴+1>1,
∴l(xiāng)n[+1]>0
∴g(q-p)>f(q)-f-1(p)
由①②可知,當0<p<q時,有f(q-p)>f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p)
點評:本題考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,考查了函數(shù)極值存在的條件,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,以及利用單調性比較大小,本題也涉及了對數(shù)與指數(shù)的運算,故本題辭讓強,綜合性強,解答時注意體會本題問題的轉化技巧與方法.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax-lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x
(1)求函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,e]上的值域T;
(2)是否存在實數(shù)a,對任意給定的集合T中的元素t,在區(qū)間[1,e]上總存在兩個不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=t成立、若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(3 )函數(shù)f(x)圖象上是否存在兩點A(x1,y1)和B(x2,y2),使得割線AB的斜率恰好等于函數(shù)f(x)在AB中點M(x0,y0)處切線的斜率?請寫出判斷過程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3e|x|+a(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))的最小值為3.
(Ⅰ)求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)已知b∈R且x<0,試解關于x的不等式 lnf(x)-ln3<x2+(2b-1)x-3b2;
(Ⅲ)已知m∈Z且m>1.若存在實數(shù)t∈[-1,+∞),使得對任意的x∈[1,m],都有f(x+t)≤3ex,試求m的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)數(shù)學公式(m∈R,e是自然常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當x>0時,設f(x)的反函數(shù)為f-1(x),若0<p<q,試比較f(q-p),f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大�。�

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2008-2009學年重慶八中高三(上)第一次月考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)(m∈R,e是自然常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當x>0時,設f(x)的反函數(shù)為f-1(x),若0<p<q,試比較f(q-p),f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大�。�

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹