Question

 （本小題8分）已知三棱錐A—BCD及其三視圖如圖所示．

（1）求三棱錐A—BCD的體積與點D到平面ABC的距離；

（2）求二面角 B-AC-D的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)二面角 B-AC-D的正弦值是。

【解析】考查線面平行、線線垂直的判定定理以及體積的求解．涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強，屬于中檔題

（1）利用三視圖可知△ABC為直角三角形，∠DBC為直角，AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2，則DE的長為點D到面ABC的距離，以及三棱錐的體積可得。

（2）作DF⊥AC于點F,連結(jié)EF，

∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF

∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角從而解三角形可知。

(1)

由三視圖可得△ABC為直角三角形，∠DBC為直角，AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2…………….2分

作DE⊥AB于點E

∵AD⊥面DBC，∴AD⊥BC

∵∠DBC為直角  ∴BC⊥面ADB

∴BC⊥DE

∴DE⊥面ABC………3分

∴DE的長為點D到面ABC的距離

∵DB=1,AD=2      ∴DE=   ∴點D到平面ABC的距離為………4分

∵,∴………5分

(2) 作DF⊥AC于點F,連結(jié)EF，

∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF

∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角………7分

∵DB=BC=1 ∴DC=  ∴DF=

∴sin∠DFE=

∴二面角 B-AC-D的正弦值是………8分