函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.

(1)討論f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)的最小值.

答案:
解析:

解析:解決此題的關(guān)鍵應(yīng)尋求對(duì)字母a討論的標(biāo)準(zhǔn).討論f(x)的奇偶性,就需要找f(x)、f(-x)的關(guān)系.從而發(fā)現(xiàn)要對(duì)a是否為零展開討論.(2)求f(x)的最小值,由絕對(duì)值的定義展開對(duì)a的討論,分x≤a,x≥a.

解:(1)∵f(x)=x2+|x-a|+1,

∴f(-x)=x2+|x+a|+1.

∴a=0時(shí),f(x)=f(-x).此時(shí)f(x)為偶函數(shù).

a≠0時(shí),f(x)≠f(-x)且f(x)+f(-x)=2(x2+1)+|x-a|+|x+a|≠0.

∴f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

(2)①當(dāng)x≤a時(shí),函數(shù)f(x)=x2-x+a+1=(x-2+a+.

若a≤,則函數(shù)f(x)在(-∞,a]上單調(diào)遞減,從而函數(shù)f(x)在(-∞,a]上的最小值為f(a)=a2+1;

若a>,則函數(shù)f(x)在(-∞,a]上的最小值為f()=+a,且f(-)≤f(a).

②當(dāng)x≥a,函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+2-a+;

若a≤-,則函數(shù)f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(-)=-a,且f(-)≤f(a).

若a>-,則函數(shù)f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增,從而,函數(shù)f(x)在[a,+∞)上的最小值f(a)=a2+1.

綜上,若a≤-,則f(x)min=-a.

若-<a≤,則f(x)min=a2+1.

若a>,則f(x)min=a+.


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