【題目】已知函數(shù),
為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在常數(shù),使
恒成立?若存在,求出
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)在區(qū)間
和
內(nèi)都單調(diào)遞增(2)存在,
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)解析式,先求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),求得
,令
,求得
的最小值,由
可判斷
,進(jìn)而判斷函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)代入函數(shù)的解析式,將不等式變形并構(gòu)造函數(shù)
原不等式等價(jià)于當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.求得
,對
分類討論即可求得
的取值范圍;
(1)定義域?yàn)?/span>
函數(shù)
所以
(
且
).
設(shè)函數(shù)(
),
則.
令,解得
當(dāng)時(shí)
所以
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí)
,所以
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增.
故在
處取得最小值,且
,
故當(dāng)且
時(shí),
,即
.
所以在區(qū)間
和
內(nèi)都單調(diào)遞增.
(2)存在,理由如下:
代入函數(shù)的解析式,將不等式變形并構(gòu)造函數(shù)
(
),
則原不等式等價(jià)于當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.(※)
求導(dǎo)得,其中
.
若當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>
,則必然存在
,使
在區(qū)間
內(nèi)恒成立.
所以在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,于是
,這與(※)矛盾,故舍去.
若當(dāng)時(shí),易知
在區(qū)間
單調(diào)遞減.
①當(dāng)時(shí),
,所以
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減.
于是,從而
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減.
故對任意,都有
,滿足(※).
②當(dāng)時(shí),若
,則
即在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增.
此時(shí),(
).
若,由
,
及零點(diǎn)存在性定理知,存在
,使
,
即,且
在區(qū)間
內(nèi)恒成立,
在區(qū)間
內(nèi)恒成立.
即在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減.
于是當(dāng)時(shí),
(
).
故當(dāng)時(shí),
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減,所以
(
),滿足(※).
綜上所述,存在常數(shù)滿足條件,其取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=ex﹣ax2﹣ax,h(x)=ex﹣2x﹣lnx.其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若f(x)=h(x)﹣g(x).
①討論f(x)的單調(diào)性;
②若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)已知a>0,函數(shù)g(x)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
,
是曲線
上的任意一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)
滿足
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線
與點(diǎn)
的軌跡方程交于
兩點(diǎn),在
軸上是否存在定點(diǎn)
(異于點(diǎn)
),使得
?若存在,求出
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最大值為
,當(dāng)
的定義域?yàn)?/span>
時(shí),
的值域?yàn)?/span>
,則正整數(shù)
的最小值為( )
A.3B.4C.5D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓上任一點(diǎn)
到
,
的距離之和為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn),設(shè)直線
不經(jīng)過
點(diǎn),
與
交于
,
兩點(diǎn),若直線
的斜率與直線
的斜率之和為
,判斷直線
是否過定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在橢圓
:
(
)上,且點(diǎn)
到左焦點(diǎn)
的距離為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),與直線
平行的直線
交橢圓
于不同兩點(diǎn)
、
,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),其中
.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn),
與
交于點(diǎn)
,與
交于
兩點(diǎn),且
,求
的普通方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為
,下頂點(diǎn)為
,上頂點(diǎn)為
,
是等邊三角形.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)直線,過點(diǎn)
且斜率為
的直線與橢圓交于點(diǎn)
異于點(diǎn)
,線段
的垂直平分線與直線
交于點(diǎn)
,與直線
交于點(diǎn)
,若
.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)已知點(diǎn),點(diǎn)
在橢圓上,若四邊形
為平行四邊形,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
,離心率為
,且
在橢圓
上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)
恰好在直線l:
上時(shí),
的面積為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)作與平行的直線
,與橢圓交于
兩點(diǎn),且線段
的中點(diǎn)為
,若
的斜率分別為
,求
的取值范圍.
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