Question

已知曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線(xiàn)x=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)l：y=-x+b與曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，P（1，2），設(shè)直線(xiàn)PA、PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，M到F（1，0）距離等于它到直線(xiàn)x=-1的距離，由拋物線(xiàn)定義，知C為拋物線(xiàn)，F(xiàn)（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)，所以C的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立
∴x₁+x₂=2b+4，x₁x₂=b²…（6分）

=
=
=
=
==0…（10分）
所以k₁+k₂為定值．…（12分）
分析：（1）由題意可得，點(diǎn)P到F（1，0）的距離與到直線(xiàn)x=-1的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義可得點(diǎn)的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，從而可求曲線(xiàn)C的方程．
（II）將直線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn)的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得k₁+k₂值，從而解決問(wèn)題．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．