Question

已知函數f(x)=+x+(a-1)lnx+15a，其中a＜0，且a≠-1，
(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性；
(Ⅱ)設函數g(x)=(e是自然對數的底數)，是否存在a，使g(x)在[a，-a]上為減函數？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)的定義域為(0，+∞)，
，
(1)若-1＜a＜0，則當0＜x＜-a時，f′(x)＞0；當-a＜x＜1時，f′(x)＜0；當x＞1時，f′(x)＞0，
故f(x)分別在(0，-a)，(1，+∞)上單調遞增，在(-a，1)上單調遞減；
(2)若a＜-1，仿(1)可得f(x)分別在(0，1)，(-a，+∞)上單調遞增，在(1，-a)上單調遞減；
(Ⅱ)存在a，使g(x)在[a，-a]上為減函數；
事實上，設(x∈R)，
則，
再設(x∈R)，
則當g(x)在[a，-a]上單調遞減時，h(x)必在[a，0]上單調遞減，所以h′(a)≤0．
由于e^x＞0，因此m(a)≤0，而m(a)=a²(a+2)，所以a≤-2．
此時，顯然有g(x)在[a，-a]上為減函數，當且僅當f(x)在[1，-a]上為減函數，h(x)在[a，1]上為減函數，且h(1)≥e·f(1)，
由(Ⅰ)知，當a≤-2時，f(x)在[1，-a]上為減函數，①
又h(1)≥e·f(1)4a²+13a+3≤0-3≤a≤，②
不難知道，，h′(x)≤0，m(x)≤0．
因m′(x)=-6x²+6(a-2)x+12a=-6(x+2)(x-a)，
令m′(x)=0，則x=a，或x= -2，
而a≤-2，于是
(1)當a＜-2時，若a＜x＜-2，則m′(x)＞0；若-2＜x＜1，則m′(x)＜0，
因而m(x)在(a，-2)上單調遞增，在(-2，1)上單調遞減；
(2)當a=-2時，m′(x)≤0，m(x)在(-2，1)上單調遞減；
綜合(1)，(2)知，當a≤-2時，m(x)在[a，1]上的最大值為m(-2)=-4a²-12a-8．
所以，③
又對x∈[a，1]，m(x)=0只有當a=-2時在x=-2取得，亦即h′(x)=0只有當a=-2時在x=-2取得．
因此，當a≤-2時，h(x)在[a，1]上為減函數，
從而由①，②，③知，-3≤a≤-2；
綜上所述，存在a，使g(x)在[a，-a]上為減函數，且a的取值范圍為[-3，-2]．