Question

【題目】對(duì)于定義在上的函數(shù)，若同時(shí)滿足：①存在閉區(qū)間，使得任取，都有（是常數(shù)）；②對(duì)于內(nèi)任意，當(dāng)時(shí)總有，稱為“平底型”函數(shù).

（1）判斷，是否為“平底型”函數(shù)？說(shuō)明理由；

（2）設(shè)是（1）中的“平底型”函數(shù)，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；

（3）若，是“平底型”函數(shù)，求和的值.

Answer 1

【答案】（1）是“平底型”函數(shù)，不是“平底型”函數(shù)；理由見(jiàn)解析；（2）；

（3）.

【解析】

（1）將函數(shù)與分別表示為分段函數(shù)，結(jié)合題中定義對(duì)這兩個(gè)函數(shù)是否為“平底型”函數(shù)進(jìn)行判斷；

（2）由（1）知，，由題意得出，利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，然后分、、三種情況來(lái)解不等式，即可得出的取值范圍；

（3）假設(shè)函數(shù)，是“平底型”函數(shù)，則該函數(shù)的解析式需滿足“平底型”函數(shù)的兩個(gè)條件，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，檢驗(yàn)“平底型”函數(shù)的兩個(gè)條件同時(shí)成立的、值是否存在.

（1），.

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)為“平底型”函數(shù).

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

但區(qū)間不是閉區(qū)間，所以，函數(shù)不是“平底型”函數(shù)；

（2）由（1）知，，

由于不等式對(duì)一切恒成立，則.

由絕對(duì)值三角不等式得，則有.

①當(dāng)時(shí)，由，得，解得，此時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，；

③當(dāng)時(shí)，由，得，解得，此時(shí)，.

綜上所述，的取值范圍是；

（3）假設(shè)函數(shù)，是“平底型”函數(shù)，

則存在， 使得對(duì)上某個(gè)閉區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)恒成立，

即，

，.

所以，，解得或.

①當(dāng)，，時(shí)，.

且當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，函數(shù)，是“平底型”函數(shù)；

②當(dāng)，，時(shí)，

.

不是閉區(qū)間，此時(shí)，函數(shù)，不是“平底型”函數(shù).

綜上所述，當(dāng)，函數(shù)，是“平底型”函數(shù).