已知在數(shù)列{an}中,a1=1且an+1=2an+1(n∈N*),求an.

思路點(diǎn)撥:題目已知數(shù)列的遞推公式,要求通項(xiàng)公式,沒(méi)有現(xiàn)成的通項(xiàng)公式可用,此時(shí)要考慮將題目中的數(shù)列轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的數(shù)列,并且這樣的數(shù)列是等差或等比數(shù)列,從而將問(wèn)題解決.

解法一:由an+1=2an+1(n∈N*),得an+1+1=2(an+1),數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列,因此an+1=2×2n-1=2n,an=2n-1.

解法二:由an+1=2an+1,得an+2=2an+1+1.

兩式相減得an+2-an+1=2(an+1-an).

數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列,

因此an+1-an=2n,把a(bǔ)n+1=2an+1代入an+1-an=2n,得an=2n-1.

[一通百通]將一個(gè)數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列來(lái)求解,這是解決有關(guān)數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的基本思路.通常若已知數(shù)列{an}的首項(xiàng),且an+1=man+k(其中m、k是常數(shù))時(shí),(1)當(dāng)m≠1時(shí),可設(shè)an+1-c=m(an-c),則an+1=man+c(1-m),c=,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的等比數(shù)列問(wèn)題,從而求解；(2)當(dāng)m=1時(shí),有an+1-an=k,此時(shí)相應(yīng)數(shù)列{an}即為等差數(shù)列,從而利用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2=an(Sn-
1
2
)．
（Ⅰ） 求Sn的表達(dá)式；
（Ⅱ） 設(shè)bn=
Sn
2n+1
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=7，an+1=
7anan+7
，計(jì)算這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，并猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，an≠0，（n∈N*）．求證：“{an}是常數(shù)列”的充要條件是“{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•河北區(qū)一模）已知在數(shù)列{an}中，Sn是前n項(xiàng)和，滿足Sn+an=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn=n2an-n（n-1）．
（1）證明：數(shù)列{
n+1
n
Sn}是等差數(shù)列；
（2）令bn=（n+1）（1-an），記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．
①求證：當(dāng)n≥2時(shí)，Tn2＞2(
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
)；
②）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，bn+1+bn+2+…+b2n＜
4
5
-
1
2n+1
．

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