已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別F1、F2，過點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若 
AF1
=3
F1B
，且cos∠AF2B=
3
5
，則橢圓C的離心率是
 
．
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)|F1B|=k（k＞0），則|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=
3
5
，利用余弦定理，可得a=3k，從而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求橢圓E的離心率．
解答： 解：設(shè)|F1B|=k（k＞0），則|AF1|=3k，|AB|=4k，
∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k
∵cos∠AF2B=
3
5
，
∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-
6
5
（2a-3k）（2a-k），
化簡可得a=3k，
∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
∴AF1⊥AF2，
∴△AF1F2是等腰直角三角形，
∴c=
2
2
a，
∴e=
c
a
=
2
2
．
故答案為：
2
2
．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在遞減的等比數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2=
1
4
，S3=
7
8
．
（Ⅰ）求an，Sn；
（Ⅱ）設(shè)bn=log2Sn，試比較
bn+bn+2
2
與bn+1的大小關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，則圖中直角三角形的個數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-1|．
（Ⅰ）將f（x）寫成分段函數(shù)的形式；
（Ⅱ）畫出f（x）的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x），若在區(qū)間（-2，2）內(nèi)有且僅有一個x0，使得f（x0）=1成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M．
（Ⅰ）若f（x）=sinx+2，判斷f（x）是否具有性質(zhì)M，說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1具有性質(zhì)M，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2x+x-4的零點(diǎn)x0∈（n，n+1），n∈Z，則n=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點(diǎn)P（-4，4）作直線l與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線l變動時，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l的斜率為-
1
2
，求弦AB的長；
（Ⅲ）若一直線與圓O相 切于點(diǎn)Q且與x軸的正半軸，y軸的正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若雙曲線的一條漸近線方程是y=-
3
4
x，且過點(diǎn)（2，3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=a-
2
3x+1
（a∈R）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

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