Question

已知各項均為正數的數列{a_n}，滿足：a₁=3，且，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，，求S_n+T_n，并確定最小正整數n，使S_n+T_n為整數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，所以=，由此可知數列{a_n}的通項公式．
（2）由題設條件知S_n+T_n==，為使S_n+T_n=為整數，當且僅當為整數．由此可確定最小正整數n，使S_n+T_n為整數．
解答：解：（1）條件可化為，
因此{}為一個等比數列，其公比為2，首項為，
所以=1°
因a_n＞0，由1°式解出a_n=2°
（2）由1°式有S_n+T_n=
=
=
為使S_n+T_n=為整數，
當且僅當為整數．
當n=1，2時，顯然S_n+T_n不為整數，
當n³3時，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=C_n¹×3+C_n²×3²+3³（C_n³++3^n-3C_nⁿ）
∴只需=為整數，
因為3n-1與3互質，
所以為9的整數倍．
當n=9時，=13為整數，
故n的最小值為9．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設條件中的隱含條件，仔細求解．