Question

定義函數(shù)f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，則函數(shù)g（x）=xf（x）-6在區(qū)間[1，2ⁿ]（n∈N^*）內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，要分區(qū)間進(jìn)行討論，當(dāng)1≤x≤2，f（x）是二次函數(shù)，當(dāng)x＞2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)很復(fù)雜，找出其中的規(guī)律，最后作和求出．

解答： 解：當(dāng)1≤x≤

3

2

時(shí)，f（x）=8x-8，
所以g（x）=8（x-

1

2

）2-8，此時(shí)當(dāng)x=

3

2

時(shí)，g（x）_max=0；
當(dāng)

3

2

＜x≤2時(shí)，f（x）=16-8x，所以g（x）=-8（x-1）²+2＜0；
由此可得1≤x≤2時(shí)，g（x）_max=0．
下面考慮2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2時(shí)，g（x）的最大值的情況．
當(dāng)2^n-1≤x≤3•2^n-2時(shí)，由函數(shù)f（x）的定義知f（x）=

1

2

f（

x

2

）=…=

1

2n-1

f（

x

2n-1

），
因?yàn)?≤

x

2n-1

≤

3

2

，
所以g（x）=

1

22n-5

（x-2n-2）2-8，
此時(shí)當(dāng)x=3•2^n-2時(shí)，g（x）_max=0；
當(dāng)3•2^n-2≤x≤2ⁿ時(shí)，同理可知，g（x）=-

1

22n-5

（x-2n-1）2+8＜0．
由此可得2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2時(shí)，g（x）_max=0．
綜上可得：對(duì)于一切的n∈N^*，函數(shù)g（x）在區(qū)間[2^n-1，2ⁿ]上有1個(gè)零點(diǎn)，
從而g（x）在區(qū)間[1，2ⁿ]上有n個(gè)零點(diǎn)，且這些零點(diǎn)為x_n=3•2^n-2，因此，所有這些零點(diǎn)的和為

3

2

(2n-1)．
故答案為：

3

2

(2n-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷的問(wèn)題，是一道較復(fù)雜的問(wèn)題，首先它是分段函數(shù)，各區(qū)間上的函數(shù)又很復(fù)雜，挑戰(zhàn)人的思維和耐心．