Question

如圖,在長(zhǎng)方體,中,,點(diǎn)在棱AB上移動(dòng).

（Ⅰ）證明:;

（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)到面的距離;

（Ⅲ）等于何值時(shí),二面角的大小為.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）建立空間坐標(biāo),分別求出的坐標(biāo),利用數(shù)量積等于零即可；（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)到平面的距離,只需找平面的一條過(guò)點(diǎn)的斜線段在平面的法向量上的投影即可；（Ⅲ）設(shè),因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102523171907079100/SYS201310252317518235524044_DA.files/image010.png">的一個(gè)法向量為,只需求出平面的法向量,然后利用二面角為,根據(jù)夾角公式,求出即可.

試題解析：以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,

（Ⅰ）,,故 ；

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102523171907079100/SYS201310252317518235524044_DA.files/image004.png">為的中點(diǎn),則,從而, ,設(shè)平面的法向量為,則 也即,得,從而,所以點(diǎn)到平面的距離為 ；

（Ⅲ）設(shè)平面的法向量, 而, 由,即,得,依題意得: , ,解得 (不合,舍去),      ∴時(shí),二面角的大小為.

考點(diǎn)：空間向量在立體幾何中應(yīng)用.