【答案】
(Ⅰ)取BE的中點(diǎn)D,連結(jié)DF∵AE
EB=CF
FA=1
2,∴AF=AD=2,而∠A=600,∴△ADF是正三角形,AE=DE=1,∴EF⊥AD,在圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角.∴A1E⊥BE∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP(Ⅱ)![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071111460351422787/SYS201307111146377180717089_DA.files/image002.png)
【解析】
試題分析:不妨設(shè)正三角形ABC
的邊長為 3 .
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071111460351422787/SYS201307111146377180717089_DA.files/image003.png)
(I)在圖1中,取BE的中點(diǎn)D,連結(jié)DF.
∵AE
EB=CF
FA=1
2,∴AF=AD=2,而∠A=600,∴△ADF是正三角形,
又AE=DE=1,∴EF⊥AD. 2分
在圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角.
由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,∴A1E⊥BE.
又BE∩EF=E,∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP. .4分
(II)建立分別以ED、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,0),A(0,0,1),
B(2,0,0),F(0,
,0), P (1,
,0),則,
.
設(shè)平面ABP的法向量為
,
由
平面ABP知,
,即
令
,得
,
.
,設(shè)平面AFP的法向量為
.
由
平面AFP知,
,即
令
,得
,
.
,
所以二面角B-A1P-F的余弦值是
13分
考點(diǎn):線面垂直的判定及二面角的求解
點(diǎn)評:證明線面垂直主要通過已知中的垂直的直線來推理,其重要注意翻折前后保持不變的量;第二問二面角的求解充分把握好從點(diǎn)E出發(fā)的三線兩兩垂直建立空間坐標(biāo)系,通過兩面的法向量的夾角得到二面角