Question

公差不為0的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=6，a₂，a₆，a₁₄分別為等比數(shù)列{b_n}的第三、四、五項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，{b_n}的前n項和為T_n，求使得T_k＞

Sk

2

的最小k值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得（6+5d）²=（6+d）（6+13d），由此求出公差d=2，從而能求出a_n=2n+4．進而利用等比數(shù)列的通項公式列出方程組求出首項和公差，由此能求出b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由S_n=n²+5n，T_n=2ⁿ⁺¹-2，利用T_k＞

Sk

2

，得2k+1-2＞

k2+5k

2

，由此能求出使得T_k＞

Sk

2

的最小k值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得（6+5d）²=（6+d）（6+13d），
由d≠0，解得d=2，
∴a_n=6+（n-1）×2=2n+4．
∵a₁=6，a₂，a₆，a₁₄分別為等比數(shù)列{b_n}的第三、四、五項，
∴b₃=a₂=8，b₄=a₆=16，b₅=a₁₄=32，
∴

b1q2=8 b1q3=16

，解得b₁=2，q=2，
∴b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）S_n=6n+

n(n-1)

2

×2=n²+5n，
T_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
∵T_k＞

Sk

2

，∴2k+1-2＞

k2+5k

2

，
整理，得2^k+2＞k²+5k+4，
解得k＞2，∵k∈N^*，∴使得T_k＞

Sk

2

的最小k值為3．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法、前n項和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．