Question

（2012•南京二模）記（1+

x

2

）（1+

x

22

）…（1+

x

2n

）的展開式中，x的系數為a_n，x²的系數為b_n，其中 n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）是否存在常數p，q（p＜q），使b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

） 對n∈N*，n≥2恒成立？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據多項式乘法運算法則，可得a_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

，利用等比數列的求和公式，可得結論；
（2）先計算b₂，b₃的值，代入b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），解得p=-2，q=-1，再用數學歸納法證明．

解答：解：（1）根據多項式乘法運算法則，得a_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

．…（3分）
（2）計算得b₂=

1

8

，b₃=

7

32

．
代入b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），解得p=-2，q=-1． …（6分）
下面用數學歸納法證明b_n=

1

3

（1-

1

2n-1

）（1-

1

2n

）=

1

3

-

1

2n

+

2

3

×

1

4n

 （n≥2）：
①當n=2時，b₂=

1

8

，結論成立．
②設n=k時成立，即b_k=

1

3

-

1

2k

+

2

3

×

1

4k

．
則當n=k+1時，b_k+1=b_k+

ak

2k+1

=

1

3

-

1

2k

+

2

3

×

1

4k

+

1

2k+1

-

1

22k+1

=

1

3

-

1

2k+1

+

2

3

×

1

4k+1

．
由①②可得結論成立．　　　                …（10分）

點評：本題考查展開式的系數，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．