Question

（1）已知x＞0，y＞0，且+=1，求x+y的最小值；
（2）已知x＜，求函數(shù)y=4x-2+的最大值；
（3）若x，y∈（0，+∞）且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值；
（4）若-4＜x＜1，求的最大值．

Answer 1

解：（1）∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=++10≥6+10=16．
當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，上式等號成立，又+=1，∴x=4，y=12時(shí)，（x+y）_min=16．
（2）∵x＜，∴5-4x＞0，∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1，
當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=，即x=1時(shí)，上式等號成立，故當(dāng)x=1時(shí)，y_max=1．
（3）由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，∴+=1，
∴x+y=（x+y）=10++
=10+2≥10+2×2×=18，
當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=2y時(shí)取等號，
又2x+8y-xy=0，∴x=12，y=6，
∴當(dāng)x=12，y=6時(shí)，x+y取最小值18．
（4）=•=
=-
∵-4＜x＜1，∴-（x-1）＞0，＞0．
從而≥2
-≤-1
當(dāng)且僅當(dāng)-（x-1）=，
即x=2（舍）或x=0時(shí)取等號．
即=-1．
分析：（1）利用+=1與x+y相乘，展開利用均值不等式求解即可．
（2）由x＜，可得4x-5＜0，首先應(yīng)調(diào)整符號，再變形處理，即配湊積為定值．
（3）由2x+8y-xy=0變形可得+=1，與x+y相乘，展開利用均值不等式求解即可．
（4）先利用配方法和拆項(xiàng)法將原式變形，=•=，再調(diào)整符號，利用均值不等式求解．
點(diǎn)評：利用基本不等式求函數(shù)最值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，對不符合基本不等式形式的應(yīng)首先變形，然后必須滿足三個(gè)條件：一正、二定、三相等．同時(shí)注意靈活運(yùn)用“1”的代換．