Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，不等式f（x）≥kx對于任意的x∈R恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=，
當(dāng)a=0時，函數(shù)定義域為R，f′（x）=≥0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增
當(dāng)a∈（0，2）時，∵△=a²-4＜0∴x²-ax+1＞0恒成立，函數(shù)定義域為R，又a+1＞1，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，1+a）單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)a=2時，函數(shù)定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），f′（x）=
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)a∈（2，+∞）時，∵△=a²-4＞0，設(shè)x²-ax+1=0的兩個根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由韋達定理易知兩根均為正根，且0＜x₁＜1＜x₂，所以函數(shù)的定義域為（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）
又對稱軸x=＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，x₂＜a+1
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）單調(diào)遞增，（1，x₂），（x₂，a+1）上單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若，的定義域為R，恒成立
由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，f（0）=1
∴k＜0，不等式f（x）≥kx在（-∞，0）上不恒成立，∴k≥0
不妨考慮x＞0，則k≤
設(shè)g（x）=，則g′（x）=
∴g（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）_min=g（3）=
∴k的取值范圍是k∈[0，]．
分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，然后討論a，得到導(dǎo)數(shù)符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可求得k的取值范圍．
點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力，屬于難題．