Question

已知命題p：直線(xiàn)y=x+t與拋物線(xiàn)y²=4x有兩個(gè)交點(diǎn)；命題q：關(guān)于x的方程x²-tx+4=0有實(shí)根．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,復(fù)合命題的真假

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由于直線(xiàn)y=x+t與拋物線(xiàn)y²=4x有兩個(gè)交點(diǎn)

y=x+t y2=4x

有兩個(gè)解，解出參數(shù)的范圍，化簡(jiǎn)p條件，再由關(guān)于x的方程x²-tx+4=0有實(shí)根得出△=t²-16≥0，解出q條件，然后再由復(fù)合命題的真假得出實(shí)數(shù)t的取值范圍即可

解答： 解：命題p：直線(xiàn)y=x+t與拋物線(xiàn)y²=4x有兩個(gè)交點(diǎn)，則

y=x+t y2=4x

有兩個(gè)解，即y²=4（y-t）有兩個(gè)根，故有△=16-16t＞0，解得t＜1，
命題q：關(guān)于x的方程x²-tx+4=0有實(shí)根，則△=t²-16≥0，解得t≥4或t≤-4
因?yàn)閜∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p與q一真一假
若p真q假，則

t＜1 -4＜t＜4

，解得-4＜t＜1
若p假q真，則

t≥1 t≥4或t≤-4

，解得t≥4
綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍為-4＜t＜1或t≥4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，復(fù)合命題的真假判斷，知識(shí)性強(qiáng)，綜合性強(qiáng)，解答時(shí)要認(rèn)真審題，正確轉(zhuǎn)化方能順利解答