Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點．

(1)求B點到平面PCD的距離；

(2)線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）取中點為，連接，可以證明平面，，故可建立如圖所示的空間直角系，計算出平面的法向量及后可得點到平面的距離．

設，用表示的坐標，從而平面的法向量也可以用表示，根據二面角的余弦值為可得到的值從而得到．

在中，， 為中點，∴.

又∵側面底面，平面平面，平面，∴平面.

在中，，，∴.

在直角梯形中，為的中點，，∴.

以為坐標原點， 為軸，為軸， 為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，

(1)∴．

設平面的法向量為，

則即取，得．

則點到平面的距離.

(2)設 ．∵，∴，

∴，∴，∴ ．

設平面的法向量為，

則即，取，得．

平面的一個法向量為，

∵二面角的余弦值為，

∴.

整理化簡，得.解得或 (舍去)，∴存在，且.