Question

（2012•開封二模）下列命題中的真命題是（　�。�

• A．?x∈R，使得sinx+cosx=

  3

  2

• B．?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
• C．?x∈（-∞，0），2^x＜3^x
• D．?x∈（0，+π），sinx＞cosx

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)y=sinx+cosx的最大值為

2

，可得A項為假命題；利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，可得B項的不等式恒成立，故為真命題；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合a^x＞0的特性可證出2^x＞3^x對任意的x∈（-∞，0）都成立，故C是假命題；通過舉出反例可以說明D項是假命題．

解答：解：對于A，因為sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，而

3

2

＞

2

，故不存在x使得sinx+cosx=

3

2

成立，
因此A是假命題；
對于B，令f（x）=e^x-x-1，得f'（x）=e^x-1＞0對于x∈（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以f（x）＞f（0）=0，即e^x＞x+1，故B是真命題；
對于C，因為

2

3

∈（0，1），所以x∈（-∞，0）時，（

2

3

）^x＞（

2

3

）⁰=1，
即當x∈（-∞，0）時，

2x

3x

＞1，得2^x＞3^x對任意的x∈（-∞，0）都成立，故C是假命題；
對于D，當x=

π

4

時，sinx=cosx，故D也是假命題．
綜上所述，可得只有B是真命題．
故選B

點評：本題以含有題詞的命題真假的判斷為載體，考查了三角函數(shù)的值域與最值、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于基礎(chǔ)題．