Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的第二步中，n=k+1時，為了使用假設(shè)，應(yīng)將5^k+1-2^k+1變形為（　　）

• A、5（5^k-2^k）+3×2^k
• B、（5^k-2^k）+4×5^k-2^k
• C、（5-2）（5^k-2^k）
• D、2（5^k-2^k）-3×5^k

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題考查的數(shù)學(xué)歸納法的步驟，在使用數(shù)學(xué)歸納法證明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的過程中，由n=k時成立，即“5^k-2^k能被3整除”時，為了使用已知結(jié)論對5^k+1-2^k+1進(jìn)行論證，在分解的過程中一定要分析出含5^k-2^k的情況．

解答： 解：假設(shè)n=k時命題成立，即：5^k-2^k被3整除．
當(dāng)n=k+1時，
5^k+1-2^k+1=5×5^k-2×2^k
=5（5^k-2^k）+5×2^k-2×2^k
=5（5^k-2^k）+3×2^k
故選：A．

點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．