【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調性;
(2)設,若
且
有兩個零點,求
的取值范圍.
【答案】(1)當時,
在
上是增函數(shù);當
時,
在
,
上是增函數(shù),在
上是減函數(shù).(2)
【解析】
(1)求定義域以及導數(shù),對參數(shù)進行分類討論,求解對應情況下的單調性即可;
(2)由(1)中所得,可知的解析式,根據(jù)
的單調性,將零點問題轉化為圖像相交的問題,數(shù)形結合,求解參數(shù)范圍.
(1)的定義域為
,
,
,
對于,
,
當時,
,
則在
上是增函數(shù).
當時,
對于,有
,則
在
上是增函數(shù).
當時,
令,得
或
,
令,得
,
所以在
,
上是增函數(shù),
在上是減函數(shù).
綜上,當時,
在
上是增函數(shù);
當時,
在
,
上是增函數(shù),
在上是減函數(shù).
(2)由已知可得,
因為,所以
,而
,所以
,
所以,所以
在
上單調遞增.
所以.
故有兩個零點,等價于
=
在
內有兩個零點.
等價于有兩根,
顯然不是方程的根,
因此原方程可化為,
設,
,
由解得
,或
由解得
,
故在
上單調遞減,在
上單調遞增.
其圖像如下所示:
所以,
所以,
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】手機等數(shù)碼產(chǎn)品中的存儲器核心部件是閃存芯片,閃存芯片有兩個獨立的性能指標:數(shù)據(jù)傳輸速度和使用壽命,數(shù)據(jù)傳輸速度的單位是,使用壽命指的是完全擦寫的次數(shù)(單位:萬次).某閃存芯片制造廠為了解產(chǎn)品情況,從一批閃存芯片中隨機抽取了100件作為樣本進行性能測試,測試數(shù)據(jù)經(jīng)過整理得到如下的頻率分布直方圖(每個分組區(qū)間均為左閉右開),其中
,
,
成等差數(shù)列且
.
(1)估計樣本中閃存芯片的數(shù)據(jù)傳輸速度的中位數(shù).
(2)估計樣本中閃存芯片的使用壽命的平均數(shù).(每組數(shù)據(jù)以中間值為代表)
(3)規(guī)定數(shù)據(jù)傳輸速度不低于為優(yōu),使用壽命不低于10萬次為優(yōu),且兩項指標均為優(yōu)的閃存芯片為
級產(chǎn)品,僅有一項為優(yōu)的為
級產(chǎn)品,沒有優(yōu)的為
級產(chǎn)品.現(xiàn)已知樣本中有45件
級產(chǎn)品,用樣本中不同級別產(chǎn)品的頻率代替每件產(chǎn)品為相應級別的概率,從這一批產(chǎn)品中任意抽取4件,求其中至少有2件
級產(chǎn)品的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為2,過點
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設橢圓的右焦點為,定點
,過點
且斜率不為零的直線
與橢圓交于
,
兩點,以線段
為直徑的圓與直線
的另一個交點為
,試探究在
軸上是否存在一定點
,使直線
恒過該定點,若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,
為橢圓
的左、右頂點,
為其右焦點,
是橢圓
上異于
,
的動點,且
面積的最大值為
.
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)直線與橢圓在點
處的切線交于點
,當點
在橢圓上運動時,求證:以
為直徑的圓與直線
恒相切.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線
的坐標方程為
,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),
).
(1)求直線的直角坐標方程及曲線
的普通方程;
(2)直線和曲線
相交于點
,
,設相交弦的長度為
,求
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線在平面直角坐標系
下的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標原點
為極點,以
軸正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線的普通方程及極坐標方程;
(2)直線的極坐標方程是
,射線
:
與曲線
交于點
與直線
交于點
,求線段
的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)且
,
,
,曲線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)),以
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)求的普通方程及
的直角坐標方程;
(2)若曲線與曲線
分別交于點
,
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①:在平行四邊形中,
,
,將
沿對角線
折起,使
,連結
,得到如圖②所示三棱錐
.
(1)證明:平面
;
(2)若,二面角
的平面角的正切值為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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