Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且函數f（x）只有一個零點-1．
（1）求f（x）表達式；
（2）當x∈[-2，k]時，求函數f（x）的最小值；
（3）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=5x+m的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數解析式的求解及常用方法,二次函數在閉區(qū)間上的最值

專題：壓軸題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由已知列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b，c的值，則函數解析式可求；
（2）分k在二次函數對稱軸的兩側求得函數f（x）的最小值；
（3）構造函數令g（x）=f（x）-5x-m=x²-3x+1-m，x∈[-1，1]，利用導數求其最小值，由最小值大于0求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）由二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且函數f（x）只有一個零點-1，得

f(0)=c=1 - b 2a =-1 f(-1)=a-b+c=0

，解得a=1，b=2，c=1．
∴f（x）=（x+1）²；
（2）當x∈[-2，k]時，若-2≤k＜-1，f(x)min=(k+1)2；
當x≥-1時，f（x）_min=0．
∴f(x)min=

(k+1)2，-2≤k＜-1 0，k≥-1

；
（3）令g（x）=f（x）-5x-m=x²-3x+1-m，x∈[-1，1]，
則g′（x）=2x-3，
當x∈[-1，1]時g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）在[-1，1]上為減函數，
g（x）_min=1-3+1-m=-1-m，
由-1-m＞0，得m＜-1．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了二次函數最值得求法，訓練了利用導數求函數的最值，體現了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，是壓軸題．