Question

函數(shù)f（x）=x²+ax+3，
（1）若f（1-x）=f（1+x），求a的值；
（2）在第（1）的前提下，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，求f（x）的最值，并說(shuō)明當(dāng)f（x）取最值時(shí)的x的值；
（3）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，我們易得到函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的方程，解方程即可求出實(shí)數(shù) a的值；
（2）在第（1）的前提下，由二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值．
（3）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒為非負(fù)，利用根的判別式小于等于0即可．

解答：解：（1）∵f（1+x）=f（1-x）
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
∴-

a

2

=1即a=-2
（2）a=-2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2x+3在區(qū)間[-2，1]上遞減，在區(qū)間[1，2]上遞增，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，f_max（x）=f（-2）=11
當(dāng)x=1時(shí)，f_min（x）=f（1）=2
（3）∵x∈R時(shí)，有x²+ax+3-a≥0恒成立，
須△=a²-4（3-a）≤0，即a²+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要了一元二次不等式恒成立的問(wèn)題，注意（2）、（3）兩問(wèn)的不同點(diǎn)，都是利用了二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的．