Question

已知cosα=

1

7

，cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求β．

Answer 1

分析：（1）欲求tan2α的值，由二倍角公式知，只須求tanα，欲求tanα，由同角公式知，只須求出sinα即可，故先由題中coaα的求出sinα 即可；
（2）欲求角，可通過(guò)求其三角函數(shù)值結(jié)合角的范圍得到，這里將角β配成β=α-（α-β），利用三角函數(shù)的差角公式求解．

解答：解：（Ⅰ）由cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

，得sinα=

1-cos2α

=

1-( 1 7 )2

=

4 3

7

∴tanα=

sinα

cosα

=

4 3

7

×

7

1

=4

3

，于是tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×4 3

1-(4 3 )2

=-

8 3

47

（Ⅱ）由0＜β＜α＜

π

2

，得0＜α-β＜

π

2

，
又∵cos(α-β)=

13

14

，∴sin(α-β)=

1-cos2(α-β)

=

1-( 13 14 )2

=

3 3

14

由β=α-（α-β）得：cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

所以β=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號(hào)，已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算能力．