Question

【題目】已知等比數(shù)列的前項和為，公比，，．

（1）求等比數(shù)列的通項公式；

（2）設，求的前項和．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將已知兩式作差，利用等比數(shù)列的通項公式，可得公比，由等比數(shù)列的求和可得首項，進而得到所求通項公式；（2）求得bn＝n，，由裂項相消求和可得答案．

（1）等比數(shù)列的前項和為，公比，①，

②．

②﹣①，得，則，

又，所以，

因為，所以，

所以，

所以；

（2），

所以前項和．

【點睛】

裂項相消法適用于形如(其中是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和，還有一類隔一項的裂項求和，如或.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)的圖象上有兩點，．函數(shù)滿足，且．

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）能否保證和中至少有一個為正數(shù)？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）能

【解析】

（1）由f（1）＝0，且a＞b＞c，可判斷a＞0，c＜0且b＝﹣a﹣c，所以a＞﹣a﹣c＞c，從而可證明；（2）由題可知f（m1）＝﹣a或f（m2）＝﹣a，即m1或m2是方程f（x）＝﹣a的一個實根，即ax2+bx+c+a＝0有根，結(jié)合二次方程的實根存在條件即可證；（3）由f（x）＝0的兩根中，其中一根為1，另一根為，結(jié)合二次方程的根的存在及二次函數(shù)的單調(diào)性可證．

（1）證明：，且，所以，

因為，所以，

所以，

（2）因為．

所以或，即或是方程的一個實根，

即有根，

所以，

因為，所以，

即，即，因為，所以

（3）設的兩根為，顯然其中一根為1，另一根為

設，

若，則

所以，所以

又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以．

同理當時，

所以中至少有一個是正數(shù)．