已知A(-2,0),B(2,0)為橢圓C的左右頂點,F(xiàn)(1,0)為其右焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程及離心率;
(Ⅱ)過點A的直線l與橢圓C的另一個交點為P(不同于A,B),與橢圓在點B處的切線交于點D.當直線l繞點A轉(zhuǎn)動時,試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并加以證明.
【答案】
分析:(1)由已知條件可得a=2,c=1,由a
2=b
2+c
2,求出b,進而求出橢圓C的標準方程及離心率;
(2)先設(shè)出直線l的方程,根據(jù)題意,表示出D、E的坐標,從而求出以BD為直徑的圓的圓心和半徑,再將l的方程與橢圓方程聯(lián)立,得到交點A、P的坐標關(guān)系,因為A點的坐標已知,從而求出點P的坐標,然后分直線PF斜率存在和不存在兩種情況討論直線PF與以BD為直徑的圓的位置關(guān)系即可.
解答:解:(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓C的方程為
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,半焦距為c,
因為A(-2,0)、B(2,0)為橢圓C的左、右頂點,F(xiàn)(1,0)為其右焦點,
所以a=2,c=1.又因為a
2=b
2+c
2,所以
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.
故橢圓C的方程為
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,離心率為
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.(5分)
(Ⅱ)以BD為直徑的圓與直線PF相切.
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證明如下:
由題意可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)(k≠0),
則點D坐標為(2,4k),BD中點E的坐標為(2,2k).
由
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得(3+4k
2)x
2+16k
2x+16k
2-12=0.
設(shè)點P的坐標為(x
,y
),則
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.
所以
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,

.
因為點F坐標為(1,0),
當
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時,點P的坐標為
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,點D的坐標為(2,±2),
直線PF⊥x軸,此時以BD為直徑的圓(x-2)
2+(y?1)
2=1與直線PF相切.
當
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時,則直線PF的斜率
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.
所以直線PF的方程為
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.
點E到直線PF的距離
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=
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.
又因為|BD|=4|k|所以
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.
故以BD為直徑的圓與直線PF相切.
綜上得,當直線l繞點A轉(zhuǎn)動時,以BD為直徑的圓與直線PF相切.(14分)
點評:本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系,解題時要認真審題,注意運用方程思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,同時考查了學(xué)生的基本運算能力與運算技巧.