Question

若函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先討論a的取值，當a=0時，為一次函數(shù)，滿足條件．當a≠0時，為二次函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸之間的關(guān)系，確定區(qū)間和對稱軸的位置，從而建立不等式關(guān)系，進行求解即可．

解答： 解：當a=0時，f（x）=ax²+（a-1）x+2=-x+2，在定義域R上單調(diào)遞減，滿足在區(qū)間（-∞，4]上是減函數(shù)，所以a=0成立．
當a≠0時，二次函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x+2的對稱軸為x=

1-a

2a

，
∴要使f（x）=ax²+（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上是減函數(shù)，
則必有a＞0且對稱軸

1-a

2a

≥4，即1-a≥8a，
解得0＜a≤

1

9

，
綜上0≤a≤

1

9

．
即a的取值范圍是[0，

1

9

]．
故答案為：[0，

1

9

]

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用二次函數(shù)單調(diào)性由對稱軸決定，從而得到對稱軸與已知區(qū)間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，本題要注意對a進行分類討論．