考點(diǎn):函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),兩個(gè)函數(shù)滿足:增+增=增,減+減=減.所以先不忙于求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),先利用函數(shù)的性質(zhì)單獨(dú)討論單調(diào)性,在參量a的范圍縮小后再對(duì)函數(shù)求導(dǎo);可從a=0、a-1=0、a與1-a兩個(gè)中都為正、一正一負(fù)、一負(fù)一正、都為負(fù)入手.
解答:
解:直接從a 與1-a的符號(hào)分類:a<0時(shí),1-a>0,故a與1-a不能同為負(fù)值,∴a與1-a的取值情況共有五類:
第一類:a=0;
第二類:1-a=0即a=1;
第三類:a<0時(shí),1-a>0,即a<0;
第四類:a>0時(shí),1-a<0,即a>1;
第五類:a>0時(shí),1-a>0,即0<a<1;
(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=
,∴f(x)在[
,2]遞減;
(2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x,∴f(x)在[
,2]遞增;
(3)當(dāng)a<0時(shí),∵1-a>0,∵ax遞減,
遞減,∴f(x)在[
,2]遞減;
此時(shí),f(x)
min=
f(2)=2a+=
,即
fmin=f(2)=,
fmax=f()=;
(4)當(dāng)a>1時(shí),∵a>0時(shí),1-a<0,∵ax遞增,
遞增,∴f(x)在[
,2]遞增;
(5)當(dāng)0<a<1時(shí),∴a>0且1-a>0,
f′(x)=a-
=
==
∵x∈[
,2],∴x
2>0,
x+>0,又a>0,∴f′(x)的正負(fù)取決于
x-,
∴x∈(0,
)時(shí),
x-<0,∴f′(x)<0,f(x)遞減,
同理,x∈(
,+∞)時(shí),f(x)遞增,
∴當(dāng)
≤
即
a≥時(shí)函數(shù)在[
,2]遞增;當(dāng)
≥2即
a≤時(shí)函數(shù)在[
,2]遞減;
當(dāng)
≤
≤2即
≤a≤時(shí)函數(shù)在[
,2]先減后增,∴
fmin=f()=
2,
再由
f()>f(2),即
(+)>(2a+),解得
a<,∴
fmax=f()=,
當(dāng)
a≥時(shí),f
max=f(2)=
;
∴綜上五方面,①當(dāng)
a≤時(shí),函數(shù)在[
,2]遞減,即
fmin=f(2)=,
fmax=f()=;
②當(dāng)
a≥時(shí),函數(shù)在[
,2]遞增,此時(shí),
fmin=f()=,f
max=f(2)=
;
③當(dāng)
≤a≤時(shí),函數(shù)在[
,2]先減后增,
fmin=f()=
2,
而最大值分兩種情況:當(dāng)
≤a≤時(shí),
fmax=f()=;當(dāng)
≤a≤時(shí),時(shí),f
max=f(2)=
.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的數(shù)學(xué)思想.本題的難點(diǎn)在于函數(shù)表達(dá)式中參變量有兩部分,處理的技巧是先不忙于求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),先利用函數(shù)的性質(zhì)單獨(dú)討論單調(diào)性,在參量a的范圍縮小后再對(duì)函數(shù)求導(dǎo);其次,本題的另一難點(diǎn)在于,函數(shù)在區(qū)間先減后增時(shí),函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得,而大小還不一定,仍需要分類討論.