求函數(shù)f(x)=ax+
1-a
x
在x∈[
1
2
,2]上的最值.
考點(diǎn):函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),兩個(gè)函數(shù)滿足:增+增=增,減+減=減.所以先不忙于求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),先利用函數(shù)的性質(zhì)單獨(dú)討論單調(diào)性,在參量a的范圍縮小后再對(duì)函數(shù)求導(dǎo);可從a=0、a-1=0、a與1-a兩個(gè)中都為正、一正一負(fù)、一負(fù)一正、都為負(fù)入手.
解答: 解:直接從a 與1-a的符號(hào)分類:a<0時(shí),1-a>0,故a與1-a不能同為負(fù)值,∴a與1-a的取值情況共有五類:
第一類:a=0;
第二類:1-a=0即a=1;
第三類:a<0時(shí),1-a>0,即a<0;
第四類:a>0時(shí),1-a<0,即a>1;
第五類:a>0時(shí),1-a>0,即0<a<1;
(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=
1
x
,∴f(x)在[
1
2
,2]遞減;
(2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x,∴f(x)在[
1
2
,2]遞增;
(3)當(dāng)a<0時(shí),∵1-a>0,∵ax遞減,
1-a
x
遞減,∴f(x)在[
1
2
,2]遞減;
此時(shí),f(x)min=f(2)=2a+
1-a
2
=
3a+1
2
,即fmin=f(2)=
3a+1
2
,fmax=f(
1
2
)=
4-3a
2

(4)當(dāng)a>1時(shí),∵a>0時(shí),1-a<0,∵ax遞增,
1-a
x
遞增,∴f(x)在[
1
2
,2]遞增;
(5)當(dāng)0<a<1時(shí),∴a>0且1-a>0,
f′(x)=a-
1-a
x2
=
ax2-(1-a)
x2
=
a(x2-
1-a
a
)
x2
=
a(x+
1-a
a
)(x-
1-a
a
)
x2

∵x∈[
1
2
,2],∴x2>0,x+
1-a
a
>0
,又a>0,∴f′(x)的正負(fù)取決于x-
1-a
a
,
∴x∈(0,
1-a
a
)時(shí),x-
1-a
a
<0,∴f′(x)<0,f(x)遞減,
同理,x∈(
1-a
a
,+∞)時(shí),f(x)遞增,
∴當(dāng)
1-a
a
1
2
a≥
4
5
時(shí)函數(shù)在[
1
2
,2]遞增;當(dāng)
1-a
a
≥2即a≤
1
5
時(shí)函數(shù)在[
1
2
,2]遞減;
當(dāng)
1
2
1-a
a
≤2即
1
5
≤a≤
4
5
時(shí)函數(shù)在[
1
2
,2]先減后增,∴fmin=f(
1-a
a
)
=2
a(1-a)

再由f(
1
2
)>f(2)
,即(
a
2
+
1-a
1
2
)>(2a+
1-a
2
)
,解得a<
1
2
,∴fmax=f(
1
2
)=
4-3a
2
,
當(dāng)a≥
1
2
時(shí),fmax=f(2)=
3a=1
2
;
∴綜上五方面,①當(dāng)a≤
1
5
時(shí),函數(shù)在[
1
2
,2]遞減,即fmin=f(2)=
3a+1
2
,fmax=f(
1
2
)=
4-3a
2
;
②當(dāng)a≥
4
5
時(shí),函數(shù)在[
1
2
,2]遞增,此時(shí),fmin=f(
1
2
)=
4-3a
2
,fmax=f(2)=
3a=1
2
;
③當(dāng)
1
5
≤a≤
4
5
時(shí),函數(shù)在[
1
2
,2]先減后增,fmin=f(
1-a
a
)
=2
a(1-a)
,
而最大值分兩種情況:當(dāng)
1
5
≤a≤
1
2
時(shí),fmax=f(
1
2
)=
4-3a
2
;當(dāng)
1
2
≤a≤
4
5
時(shí),時(shí),fmax=f(2)=
3a=1
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的數(shù)學(xué)思想.本題的難點(diǎn)在于函數(shù)表達(dá)式中參變量有兩部分,處理的技巧是先不忙于求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),先利用函數(shù)的性質(zhì)單獨(dú)討論單調(diào)性,在參量a的范圍縮小后再對(duì)函數(shù)求導(dǎo);其次,本題的另一難點(diǎn)在于,函數(shù)在區(qū)間先減后增時(shí),函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得,而大小還不一定,仍需要分類討論.
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已知f(x)=
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AD
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x=2
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}
D、{(1,3)}

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x2
25
+
y2
9
=1上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2,N是MF1的中點(diǎn),O為原點(diǎn),則|ON|等于(  )
A、2
B、4
C、8
D、
3
2

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a∥c
b∥c
⇒a∥b
;②
a∥γ
b∥γ
⇒a∥b
;③
α∥c
β∥c
⇒α∥β
;④
α∥γ
β∥γ
⇒α∥β
;⑤
a∥c
α∥c
⇒a∥α
;⑥
a∥γ
α∥γ
⇒a∥α
A、④,⑥B、②,③,⑥
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3
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