Question

已知拋物線C：y=x²．過點M（1，2）的直線l交C于A，B兩點．拋物線C在點A處的切線與在點B處的切線交于點P．
（Ⅰ）若直線l的斜率為1，求|AB|；
（Ⅱ）求△PAB面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）直線l的方程為y=x+1，代入y=x²，消去y，求出方程的根，即可求|AB|；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-1）+2，代入y=x²，消去y整理得x²-kx+k-2=0，利用韋達定理，結合弦長公式求出|AB|，求出P的坐標，可求點P到直線l的距離，即可求△PAB面積的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，直線l的方程為y=x+1，代入y=x²，消去y，可得x²-x-1=0，
解得，x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

．
所以|AB|=

2

|

1+ 5

2

-

1- 5

2

|=

10

．       …（6分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-1）+2，設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由y=k（x-1）+2代入y=x²，消去y整理得x²-kx+k-2=0，
于是x₁+x₂=k，x₁x₂=k-2，
又因為y′=（x²）′=2x，
所以，拋物線y=x²在點A，B處的切線方程分別為：y=2x₁x-x₁²，y=2x₂x-x₂²．
得兩切線的交點P（

k

2

，k-2）．
所以點P到直線l的距離為d=

|k2-4k+8|

2 k2+1

．
又因為|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+k2

•

k2-4k+8

．
設△PAB的面積為S，所以S=

1

2

|AB|•d=

1

4

(

(k-2)2+4

)3≥2（當k=2時取到等號）．
所以△PAB面積的最小值為2．                              …（14分）

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關系、三角形面積公式等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．