解:(Ⅰ)將
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3053.png)
cosB-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1808.png)
cosA=cos
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
利用正弦定理化簡得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6919.png)
cosB-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6920.png)
cosA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,即2sinAcosB-2sinBcosA=sinC,
又sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
整理得:sinAcosB=3sinBcosA,
∴tanA=3tanB,又tanA=ktanB,
則k=3;
(Ⅱ)設tanB=t(t>0),則tanA=3t,
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3361.png)
+3t≥2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
(當且僅當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3361.png)
=3t,即t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
時取等號),
∴tan(A-B)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80182.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/533477.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/533478.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/533479.png)
≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
,
∴tanB=t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
,tanA=3t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
∴B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
,A=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
,
則C=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
,即△ABC為直角三角形.
分析:(Ⅰ)利用正弦定理化簡已知的等式,變形后再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關系得出tanA=3tanB,由tanA=ktanB,得出k的值為3;
(Ⅱ)由tanA=3tanB,設tanA=t(t>0),得到tanB=3t,利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan(A-B),將設出的tanA及tanB代入,整理后利用基本不等式變形求出tan(A-B)的最大值,以及此時t的值,確定出tanA和tanB的值,利用特殊角的三角函數(shù)值確定出A和B的度數(shù),利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù),即可判斷出三角形的形狀.
點評:此題考查了正弦定理,兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式,誘導公式,以及基本不等式的運用,熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵.