Question

某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種兒童玩具，每件玩具的成本為30元，并且每件玩具的加工費(fèi)為t元（其中t為常數(shù)，且2≤t≤5），設(shè)該工廠(chǎng)每件玩具的出廠(chǎng)價(jià)為x元（35≤x≤41），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷(xiāo)售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例，當(dāng)每件玩具的出廠(chǎng)價(jià)為40元時(shí)，日銷(xiāo)售量為10件．
（1）求該工廠(chǎng)的日利潤(rùn)y（元）與每件玩具的出廠(chǎng)價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件玩具的日售價(jià)為多少元時(shí)，該工廠(chǎng)的利潤(rùn)y最大，并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由條件“日銷(xiāo)售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例”可設(shè)日銷(xiāo)量為

k

ex

，根據(jù)日利潤(rùn)y=每件的利潤(rùn)×件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，注意實(shí)際問(wèn)題自變量的范圍．
（2）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)，討論極值是否在35≤x≤41范圍內(nèi)，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)日銷(xiāo)量為

k

ex

；
則

k

e40

=10，  ∴k=10e40．（2分）
則日售量為

10e40

ex

，∴日利潤(rùn)y=(x-30-t)•

10e40

ex

．
∴y=

10e40(x-30-t)

ex

，其中35≤x≤41．（6分）
（Ⅱ）y′=

10e40(31+t-x)

ex

，令y′=0得x=31+t．（8分）
①當(dāng)2≤t≤4時(shí)，33≤31+t≤35．∴當(dāng)35≤x≤41時(shí)，y′≤0．
∴當(dāng)x=35時(shí)，y取最大值，最大值為10（5-t）e⁵．（11分）
②當(dāng)4＜t≤5時(shí)，35＜t+31≤36，函數(shù)y在[35，t+31]上單調(diào)遞增，
在[t+31，41]上單減．∴當(dāng)x=t+31時(shí)，y取最大值10e^9-t．
∴當(dāng)2≤t≤4時(shí)，x=35時(shí)，日利潤(rùn)y最大值為10（5-t）e⁵元
當(dāng)4＜t≤5時(shí)，x=31+t時(shí)，日利潤(rùn)y最大值為10e^9-t元．

點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題情境”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問(wèn)題中加以說(shuō)明．