已知函數(shù) .

(1)若 的極小值為1,求a的值.

(2)若對任意 ,都有 成立,求a的取值范圍.

 

【答案】

(1) (2) 

【解析】

試題分析:(1)先求導,利用導數(shù)的性質求出存在極小值的條件,然后求解即可;(2)利用導數(shù)的求出函數(shù)的單調性,然后在求出函數(shù)在上的極小值,可得極小值大于等于1,解之即可.

試題解析:(1)因為,所以

當a≤0時,,所以在定義域(0,+∞上單調遞減,不存在極小值;

當a>0時,令,可得  ,當 時,有, 單調遞減;當時,由, 單調遞增,

所以是函數(shù)的極小值點,故函數(shù)的極小值為,解得.

(2)由(1)可知,當a≤0時,在定義域(0,+∞上單調遞減,且在x=0附近趨于正無窮大,而,由零點存在定理可知函數(shù)在(0,1]內存在一個零點,不恒成立;

當a>0時,若恒成立,則,即a≥1,

結合(1)a≥1時,函數(shù)在(0,1]內先減后增,要使恒成立,則的極小值大于或等于1成立,所以 即,可得,綜上可得.

考點:1.求函數(shù)的導數(shù)和利用導數(shù)求函數(shù)的單調性;(2)利用導數(shù)由不等式恒成立問題求出參數(shù).

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x2
+
x2-1
的定義域是( 。
A、[-1,1]
B、{-1,1}
C、(-1,1)
D、(-∞,-1]∪[1,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(1-b)x+b,x<0
(b-3)x2+2,x≥0
,在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則實數(shù)b的范圍為(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1-
a
x
,g(x)=
lnx
x
,且函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y+3=0垂直.
(I)求a的值;
(II)如果當x∈(0,1)時,t•g(x)≤f(x)恒成立,求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
x+1
的定義域為集合A,集合B=(-2,+∞),則集合(CRA)∩B=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

請考生注意:重點高中學生做(2)(3).一般高中學生只做(1)(2).
已知函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-
a
x
-1(a∈R)

(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)當a>0時,討論f(x)的單調性;
(3)當a=
3
4
時,設g(x)=x2-bx+1,若對任意x1∈(0,2],都存在x2∈(0,2],都存在x2∈[1,2]使f(x1)≤g(x2),求實數(shù)b的取值范圍.

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