Question

【題目】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD= DB，點C為圓O上一點，且BC= AC．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=DB．

（1）求證：PA⊥CD；
（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，由AD= BD知，點D為AO的中點，

又∵AB為圓的直徑，∴AC⊥BC，

∵ AC=BC，∴∠CAB=60°，

∴△ACO為等邊三角形，∴CD⊥AO．

∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，

∴PD⊥平面ABC，又CD平面ABC，

∴PD⊥CD，PD∩AO=D，

∴CD⊥平面PAB，PA平面PAB，

∴PA⊥CD．

（2）解：過點D作DE⊥PB，垂足為E，連接CE，

由（1）知CD⊥平面PAB，又PB平面PAB，

∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，

∴PB⊥平面CDE，又CE平面CDE，

∴CE⊥PB，

∴∠DEC為二面角C﹣PB﹣A的平面角．

由（1）可知CD= ，PD=BD=3，

∴PB=3 ，則DE= = ，

∴在Rt△CDE中，tan∠DEC= = ，

∴cos∠DEC= ，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值為

【解析】（1）先利用平面幾何知識與線面垂直的性質(zhì)證線線垂直，由線線垂直線面垂直，再由線面垂直線線垂直；（2）通過作出二面角的平面角，證明符合定義，再在三角形中求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想)．