Question

已知f（x）=2^x可以表示成一個(gè)奇函數(shù)g（x）與一個(gè)偶函數(shù)h（x）之和，若關(guān)于x的不等式ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是________．

Answer 1

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分析：由題意可得g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②從而可得h（x）=，g（x）=
而ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立即a對于x∈[1，2]恒成立即對于x∈[1，2]恒成立，只要求出函數(shù)的最大值即可
解答：f（x）=2^x可以表示成一個(gè)奇函數(shù)g（x）與一個(gè)偶函數(shù)h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②聯(lián)立可得，h（x）=，g（x）=
ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立
a對于x∈[1，2]恒成立
對于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈則t在t∈單調(diào)遞增，
t=時(shí)，則t=
a
故答案為：
點(diǎn)評：本題主要考查了奇偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立的問題，常會轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．