Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a＞0，設g（x）=x²+x+

5

4

，若對任意x₁∈（0，+∞），總存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）＞g（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）求出g（x）_min=1，?x₁∈（0，+∞），總x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，等價于f（x）＞g（x）_min，分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，則a＞

lnx

x

（x＞0），
令y=

lnx

x

（x＞0），則y′=

1-lnx

x2

，
∴（0，e）上，y′＞0，（e，+∞）上，y′＜0，
∴x=e時，函數(shù)取得最大值

1

e

，
∴a＞

1

e

；
（Ⅱ）g（x）=x²+x+

5

4

，∵x∈[-1，0]，∴g（x）_min=1
?x₁∈（0，+∞），總x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，
等價于f（x）＞g（x）_min，
∵f（x）=ax-lnx，∴ax-lnx＞1，?x∈（0，+∞）恒成立，
∴a＞

1+lnx

x

，
令h（x）=

1+lnx

x

，則h′（x）=

1-1-lnx

x2

∴0＜x＜1時，h′（x）＞0，x＞1時，h′（x）＜0，
∴x=1時，函數(shù)取得最大值1，
∴a＞1．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最大值，正確分離參數(shù)，求最值是關鍵．